Ist das Verfahren zur Besetzung eines Bischofsstuhls in der katholischen Kirche überall auf der Welt gleich geregelt?

Nein, es gibt unterschiedliche Verfahren. Wie die Neubesetzung eines Bischofsstuhls abläuft, ist in Deutschland in Konkordaten geregelt.

Konkordate sind Verträge zwischen Staaten (in Deutschland der Bundesstaat oder die Länder als Gliedstaaten) auf der einen und der katholischen Kirche auf der anderen Seite.
Was die Wahl des Osnabrücker Bischofs anbelangt, ist das 1929 zwischen dem Freistaat Preußen und dem Heiligen Stuhl geschlossene Preußenkonkordat die Rechtsgrundlage. Das Preußenkonkordat wurde nach dem Zweiten Weltkrieg von den auf ehemals preußischem Territorium jeweils neugegründeten Ländern der Bundesrepublik Deutschland anerkannt und behielt auf diese Weise seine Gültigkeit.